Question

17．设函数f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）当-1≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，求实数k的取值范围．
（3）问a取何值时，方程g（sinx）=a-5sinx在[0，2π）上有两解？

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，求得g（t）的表达式．
（2）令t=sinx∈[-1，1]，再利用二次函数的性质，求得g（t）=kt有且仅有一个实根时实数k的取值范围．
（3）令u=sinθ，u∈[-1，1]，则由题意可得 g（u）=u²-6u+1=a-5u 有2个解，再利用二次函数的性质求得a的范围．

解答 解：（1）由已知有：f（x）=-cos²x-2t•sinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
由于x∈R，∴-1≤sinx≤1，
∴当 t＜-1时，则当sinx=-1时，$f{（x）_{min}}=2{t^2}-4t+2$；
当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，$f{（x）_{min}}={t^2}-6t+1$；
当 t＞1时，则当sinx=1时，$f{（x）_{min}}=2{t^2}-8t+2$；
综上，$g（t）=\left\{\begin{array}{l}2{t^2}-4t+2，t∈（-∞，-1）\\{t^2}-6t+1，t∈[-1，1]\\ 2{t^2}-8t+2，t∈（1，+∞）\end{array}\right.$．
（2）当-1≤t≤1时，g（t）=t²-6t+1，方程g（t）=kt，即：t²-6t+1=kt，
即方程 t²-（k+6）t+1=0在区间[-1，1]有且仅有一个实根，
令 q（t）=t²-（k+6）t+1，则有：q（-1）q（1）≤0，得（k+8）（k+4）≥0，
求得k∈（-∞，-8]∪[-4，+∞）．
（3）令u=sinθ，u∈[-1，1]，则由题意可得 g（u）=u²-6u+1=a-5u，
即关于u的方程u²-u+1=a 有2个根．
根据函数y=u²-u+1的图象的对称轴为x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{3}{4}$，且当x=1时，y=1；当x=-1时，y=3，
∴$a=\frac{3}{4}$，或1＜a＜3．

点评 本题主要考查二次函数的性质，正弦函数的值域，属于中档题．