Question

12．如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BD=PC=2$\sqrt{6}$，CD=2$\sqrt{2}$，若沿AB将三角形PAB折起，使∠PAD=120°，构成四棱锥P-ABCD，构成四棱锥P-ABCD（如图2），且$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2
（1）求证：平面BEF⊥平面PAB；
（2）求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形ABED是平行四边形，BA⊥平面PAD，CD⊥平面PAD，CD⊥PD，CD⊥AD，CD⊥FE，CD⊥BE，CD⊥平面BEF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作面ABD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BD=PC，
∴∠PDC=90°，AB∥CD，
∵$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2，∴E为CD中点，CD=2AB，
∴AB∥DE，且AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD，
∵BA⊥PA，BA⊥AD，又PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，
∵AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥PD，CD⊥AD，又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥FE，
∵在平面ABCD中，BE∥AD，∴CD⊥BE，
∵FE∩BE=E，FE?平面BEF，BE?平面BEF，
∴CD⊥平面BEF，
又∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作面ABD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知BA⊥平面PAD，∴z轴位于平面PAD内，∴∠PAz=30°，
P到z轴的距离为1，∴P（0，-1，$\sqrt{3}$），
A（0，0，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，1，-3$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}，2，0$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}，0，0$），
设平面PBA的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，1，-\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面PBC与平面PAD所成的二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．