Question

6．已知数列{a_n}是等差数列，且a₅=$\frac{π}{2}$，若函数f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，记y_n=f（a_n），则数列{y_n}的前9项和为（　　）

• A． 0
• B． 9
• C． -9
• D． 1

Answer 1

分析 数列{a_n}是等差数列，a₅=$\frac{π}{2}$，由a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，可得f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$=sin2x+cosx+1，可得f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2．即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}是等差数列，a₅=$\frac{π}{2}$，
∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π
∵f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2．
∵f（a₅）=1，
∴数列{y_n}的前9项和为9．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角函数化简求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．