Question

8．已知四棱锥P-ABCD如图所示，其中四边形ABCD是等腰梯形，且∠ADC+∠DAB=180°，AB=2AD=2DC=2BC=4，PA=PC，平面PAC⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明DE⊥平面PAC，然后根据DE∥BC的性质即即可证明PA⊥BC；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法，利用向量法求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵∠ADC+∠DAB=180°，
∴CD∥AB，
∵AB=2AD=2DC=2BC=4，
∴AB=4，AD=DC=BC=2，
取AB的中点E，则四边形AECD是菱形，且∠DAE=60°，
连接DE，AC相交于O，
则AC⊥DE，
∵PA=PC，∴△PAC是等腰三角形，
则PO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，即PO是点P到平面ABCD的距离，即PO=$\sqrt{3}$．
∵DE⊥AC，平面PAC⊥平面ABCD，
∴DE⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，
∴DE⊥PA，
∵BC∥DE，
∴BC⊥PA
即PA⊥BC；
（Ⅱ）建立以O为坐标原点，OA，OE，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则OE=OD=1，OA=OC=$\sqrt{3}$．
则P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-$\sqrt{3}$，0，0），B（-$\sqrt{3}$，2，0），D（0，-1，0）
则$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PD}$=-y-$\sqrt{3}$z=0，
令z=1，则x=1，y=-$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{PB}$=（-$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
设直线BP与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{-\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{1+1+3}•\sqrt{3+4+3}}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{14}}$=$\frac{2\sqrt{210}}{35}$，
即求直线BP与平面PCD所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{210}}{35}$．

点评 本题主要考查线面垂直的应用以及线面角的求解，根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理，以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求线面角是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．