Question

19．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD
（1）求证：∠ACB=∠ACD；
（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明：∠ACB=∠ACD；
（2）由切割线定理及△AMB～△ABC，求AB的长．

解答 （1）证明：∵PA为切线，∴∠PAB=∠ACB．
∵PA∥BD，∴∠PAB=∠ABD=∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD…（5分）
（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA²=PB•PC
得：$PB=\frac{3}{2}，BC=\frac{9}{2}$，
∵PA∥BD，得$\frac{AM}{MC}=\frac{PB}{BC}{，_{\;}}∴MC=3$
又知△AMB～△ABC，所以$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AB}$
所以AB²=AM•AC=4，所以AB=2…（10分）

点评 本题考查弦切角定理及平行线的性质，考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．