Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx的周期为$\frac{π}{2}$，其中ω＞0
（1）求ω的值，并写出函数f（x）的解析式
（2）设△ABC的三边a、b、c依次成等比数列，且函数f（x）的定义域等于b边所对的角B的取值集合，求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=$\frac{2π}{|ω|}$求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；
（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cosB的范围，再根据B为三角形的内角求出B的范围，得出f（x）的定义域，从而求出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$；
由T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2，
所以函数f（x）的解析式为
f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$；
（2）因为b²=ac，
所以cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2ac}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{2ac}{2ac}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时取“=”；
又B为三角形内角，
所以0＜B≤$\frac{π}{3}$，即0＜x≤$\frac{π}{3}$，
所以-$\frac{π}{6}$＜4x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（4x-$\frac{π}{6}$）≤1，
所以-1≤sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
即函数f（x）的值域是[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了三角变换及解三角形的应用问题，解题的关键是化成正弦型函数的标准形式，把求角的范围转化成先求角余弦值的范围，是综合性题目．