Question

11．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系得曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）将曲线C₁向右移动1个单位得到曲线C₃，求C₃与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）参数方程通过消参转化为普通方程，再求出其极坐标方程；
（2）通过平移，得出C₃的普通方程和C₂的普通方程，求出交点，再转化为极坐标即可．

解答 解：（1）将$\left\{\begin{array}{l}x=3+5cost\\ y=5+5sint\end{array}\right.$消去参数t得普通方程为（x-3）²+（y-5）²=25…（1分）
即 C₁：x²+y²-6x-10y+9=0，…（2分）
将$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$…（3分）
代入x²+y²-6x-10y+9=0得ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0；
所以C₁极坐标方程为ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0．…（5分）
（2）C₃的普通方程为（x-4）²+（y-5）²=25即x²+y²-8x-10y+16=0…（6分）
C₂的普通方程为x²+y²-2y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-8x-10y+16=0\\{x^2}+{y^2}-2y=0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$…（8分）
所以C₃与C₂交点的直角坐标为$（{1，1}）_{\;}^{\;}，（{0，2}）$．
所以C₃与C₂交点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）和（2，$\frac{π}{2}$）…（10分）

点评 本题考查了极坐标系和极坐标与参数方程，普通方程的综合应用．