Question

12．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AB∥CD，AD的延长线与BC的延长线交于E点．
（1）证明：EC=ED．
（2）延长CD到F，延长DC到G，连接EF、EG，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

Answer 1

分析 （1）根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，根据两直线平行，同位角相等，等量代换得到两个角相等，从而两条边相等，得到结论；
（2）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．

解答 （1）证明：因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA
因为CD∥AB，
所以∠ECD=∠EBA，
所以∠EDC=∠ECD，
所以EC=ED．
（2）解：由（1）知，AE=BE，
因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC
连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F四点共圆．

点评 本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个中档题．