Question

18．在直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（0，0），以AB为边在x轴上边作一个平行四边形，满足tan∠CAB•tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，E（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，0），则CE长的取值范围是（　　）

• A． $（1，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$

Answer 1

分析 由平行四边形的性质，设出C和D点坐标，分别表示出tan∠CAB和tan∠DBA，化简整理求得${x^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}}}=1（y＞0）$，根据椭圆的性质，可知E为椭圆的右焦点，C在椭圆上运动，即可求得CE长的取值范围．

解答 解：设C（x，y），则D（x-1，y），
∵tan∠CAB•tan∠DBA=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{1-x}=\frac{1}{2}（y＞0）$，化简得，${x^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}}}=1（y＞0）$，
即C在椭圆${x^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}}}=1（y＞0）$上运动，且$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$是椭圆的右焦点，
所以CE长的取值范围是$（1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
故答案选：D．

点评 本题考查求椭圆的轨迹方程及椭圆的简单性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．