Question

6．P为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{{a^2}-4}}$=1（a＞2）上位于第一象限内一点，且OP=2$\sqrt{2}$，令∠POx=θ，则θ的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{π}{12}]$
• B． $（0，\frac{π}{6}]$
• C． $（0，\frac{π}{4}]$
• D． $（0，\frac{π}{3}]$

Answer 1

分析 利用参数法求出点P的坐标，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：设∠POx=θ，则θ为锐角且$P（2\sqrt{2}cosθ，2\sqrt{2}sinθ）$，
所以$\frac{{8{{cos}^2}θ}}{a^2}-\frac{{8{{sin}^2}θ}}{{{a^2}-4}}=1$，
化简得，$cos2θ=\frac{1}{8}[（{a^2}-2）+\frac{12}{{{a^2}-2}}]≥\frac{1}{8}•2\sqrt{（{a^2}-2）•\frac{12}{{{a^2}-2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，当且仅当${a^2}-2=\frac{12}{{{a^2}-2}}$，
即${a^2}=2（\sqrt{3}+1）$时取等号，所以$0＜θ≤\frac{π}{12}$．
故选：A

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，利用参数法结合基本不等式求最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．