Question

已知命题p：不等式 ︳x ︳+︳x-1 ︳＞m  对全体实数都成立；命题q；不等式  x²+2mx+4＜0  的解集是空集，若 p且q为假，非q为假，求m 的取值范围．

Answer 1

分析：利用分类讨论的方法去掉绝对值符号即可得出命题p中的m的取值范围，再利用判别式与一元二次不等式的解集的关系即可得到命题q中的m的取值范围．利用“且”“非”命题即可判断命题p、q的真假，从而得出m的取值范围．

解答：解：∵命题p：不等式 ︳x ︳+︳x-1 ︳＞m  对全体实数都成立，∴m＜（|x|+|x-1|）_min．
令f（x）=|x|+|x-1|=

2x-1，当x＞1时 1，当0≤x≤1时 -2x+1，当x＜0时

，
①当x＞1时，f（x）=2x-1＞f（1）=1；
②当0≤x≤1时，f（x）≡1；
③当x＜0时，f（x）＞f（0）=1．
综上可知：当0≤x≤1时，f（x）取得最小值1．
∴m＜1．
命题q；不等式  x²+2mx+4＜0  的解集是空集，∴△=4m²-16≤0，解得-2≤m≤2．
又若 p且q为假，非q为假，∴q为真，p为假．
∴m必满足

m≥1 -2≤m≤2

，解得1≤m≤2．
∴m 的取值范围是[1，2]．

点评：熟练掌握绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、“且”“非”命题的真假判断方法是解题的关键．