Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＜0}\\{（a-3）x+4a，x≥0}\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则函数f（x）是单调减函数，a的取值范围是0＜a≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则函数f（x）是单调减函数；故$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a-3＜0\\ 1≥4a\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：若对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
则函数f（x）是单调减函数；
故$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a-3＜0\\ 1≥4a\end{array}\right.$，
解得：0＜a≤$\frac{1}{4}$
故答案为：减，0＜a≤$\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．