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已知椭圆C焦点在x轴上,其长轴长为4,离心率为
3
2

(1)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(2)如图,过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.
(1)∵椭圆C焦点在x轴上,其长轴长为4,离心率为
3
2

2a=4
c
a
=
3
2
.解得a=2,b=1,∴
x2
4
+y2=1

显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).(5分)
x2
4
+y2=1
y=kx+2
得(1+4k2)x2+16kx+12=0.∵△=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,
k∈(-∞,-
3
2
)∪(
3
2
,+∞)

x1+x2=
-16k
1+4k2
 ,x1x2=
12
1+4k2

0°<∠AOB<90°?
OA
OB
>0
.∴
OA
OB
=x1x2+y1y2>0

所以
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=
12(1+k2)
1+4k2
+2k
-16k
1+4k2
+4>0
∴-2<k<2.
由此得:k∈(-2,-
3
2
)∪(
3
2
,2)

(2)由椭圆的对称性可知PQSR是菱形,原点O到各边的距离相等.
当P在y轴上,Q在x轴上时,直线PQ的方程为
x
a
+
y
b 
=1
,由d=1得
1
a2
+
1
b2
=1

当P不在y轴上时,设直线PS的斜率为k,P(x1,kx1),则直线RQ的斜率为-
1
k
Q(x2,-
1
k
x2)

y=kx
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得
1
x12
=
1
a2
+
k2
b2
(1),同理
1
x22
=
1
a2
+
1
k2b2

在Rt△OPQ中,由
1
2
d•|PQ|=
1
2
|OP|•|OQ|
,即|PQ|2=|OP|2•|OQ|2
所以(x1-x2)2+(kx1+
x2
k
)2=[x12+(kx1)2]•[x22+(
x2
k
)2]
,化简得
k2
x22
+
1
x12
=1+k2

k2(
1
a2
+
1
k2b2
)+
1
a2
+
k2
b2
=1+k2

1
a2
+
1
b2
=1

综上,d=1时a,b满足条件
1
a2
+
1
b2
=1
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x2
a2
+
y2
b2
=1
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2
5
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+
MB
)⊥
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,求m的取值范围;
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(1)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围;
(2)如图,过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆(a>b>0)相交于P,S,R,Q四点,设原点O到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时a,b满足的条件.

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