Question

已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为

3

2

，
（1）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（2）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

Answer 1

分析：（1）由题设知

2a=4 c a = 3 2

．由此得

x2

4

+y2=1．设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．由△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，知k∈(-∞，-

3

2

)∪(

3

2

，+∞)．又x1+x2=

-16k

1+4k2

 ，x1x2=

12

1+4k2

，由0°＜∠AOB＜90°?

OA

•

OB

＞0．得-2＜k＜2．由此得：k∈(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为-

1

k

，Q(x2，-

1

k

x2)由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

．由此知a，b满足条件

1

a2

+

1

b2

=1．

解答：解：（1）∵椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为

3

2

，
∴

2a=4 c a = 3 2

．解得a=2，b=1，∴

x2

4

+y2=1
显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（5分）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，
∴k∈(-∞，-

3

2

)∪(

3

2

，+∞)
又x1+x2=

-16k

1+4k2

 ，x1x2=

12

1+4k2

由0°＜∠AOB＜90°?

OA

•

OB

＞0．∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0．
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

12(1+k2)

1+4k2

+2k

-16k

1+4k2

+4＞0∴-2＜k＜2．
由此得：k∈(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为-

1

k

，Q(x2，-

1

k

x2)
由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

在Rt△OPQ中，由

1

2

d•|PQ|=

1

2

|OP|•|OQ|，即|PQ|²=|OP|²•|OQ|²
所以(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=[x12+(kx1)2]•[x22+(

x2

k

)2]，化简得

k2

x22

+

1

x12

=1+k2，
分k2(

1

a2

+

1

k2b2

)+

1

a2

+

k2

b2

=1+k2，
即

1

a2

+

1

b2

=1．
综上，d=1时a，b满足条件

1

a2

+

1

b2

=1

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．