Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；
（Ⅲ）对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等价于f（x）_max＜g（x）_max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知f′(x)=2+

1

x

(x＞0)，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，
又切点（1，2），所以切线方程为y-2=3（x-1）），即3x-y-1=0
故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x-y-1=0．-----------------（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．------（6分）
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在区间(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在区间(-

1

a

，+∞)上，f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，-

1

a

)，单调递减区间为(-

1

a

，+∞)．--------（8分）
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max．g（x）=（x-1）²+1，x∈[0，1]，所以g（x）_max=2
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
（或者举出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合题意．）
当a＜0时，f（x）在(0，-

1

a

)上单调递增，在(-

1

a

，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-1-ln(-a)，
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e3

．-----------------------（12分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．