Question

已知函数f(x)=2sin(

1

3

x-

π

6

)，x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）设α∈[0，

π

2

]，β∈[-

π

2

，0]，f(3α+

π

2

)=

10

13

，f(3β+2π)=

6

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）直接将x=0代入即可求得结果；
（2）由函数解析式化简已知两等式求出sinα与cosβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）f(0)=2sin(-

π

6

)=-1…（3分）
（2）f(3α+

π

2

)=2sin[

1

3

(3α+

π

2

)-

π

6

]=2sinα=

10

13

，即sinα=

5

13

…（5分）
f(3β+2π)=2sin[

1

3

(3β+2π)-

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=

6

5

，即cosβ=

3

5

…（8分）
∵α∈[0，

π

2

]，β∈[-

π

2

，0]，…（9分）
∴cosα=

1-sin2α

=

12

13

，sinβ=-

1-cos2β

=-

4

5

…（10分）
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

•

3

5

-

5

13

(-

4

5

)=

56

65

…（12分）

点评：此题考查了两角和与差公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．