【题目】已知点
在椭圆G：
上，且椭圆的离心率为
．
求椭圆G的方程；
若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底做等腰三角形，顶点为
，求
的面积．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．
【解析】
试题（Ⅰ） 由条件可得方程组
，解得
，
，所以椭圆
的方程为. （Ⅱ）直线与椭圆弦长、面积问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式解决:本题关键转化以
为底作等腰三角形，顶点为
为
，其中中点为
，这样可得等量关系
，利用韦达定理可得弦中点坐标：
，解得
，进而可得
、
两点坐标，以下就具体化了.
试题解析：解：（1）由题意可得，解得，，
，
所以椭圆的方程为.
设直线
的方程为
，代入得
……（*）
设
，
，中点为，
则
，
，
因为为等腰
的底边，所以，
所以
，解得，所以方程（*）为
，
解得
，
，所以
，
，于是
,
此时，点到直线
的距离为
，
所以△
的面积为
.
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【题目】某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为100分），将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：
（1）写出
的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从成绩在
内的学生中任选出两名同学，从成绩在
内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若
同学的数学成绩为43分，
同学的数学成绩为
分，求
两同学恰好都被选出的概率.
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【题目】如图，四棱锥PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【题目】(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝
AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.
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【题目】2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：
是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.
（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为__________；
（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则
__________.
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【题目】已知函数f(x)与函数g(x)的图像关于原点对称，且f(x)=
+2x, 若函数F（x)=g(x)-
f(x)+1在区间
上是增函数，求实数的取值范围。
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【题目】已知椭圆C的方程为
，
为椭圆C的左右焦点，离心率为
，短轴长为2。
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点，求该平行四边形ABCD面积的最大值．
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