Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞ 恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函数f（x）=alnx+ 的导数为f′（x）= ﹣ ，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，
解得a=b=1
（II）当x＞1时，不等式f（x）＞ ，即为（x﹣1）lnx+ ＞（x﹣k）lnx，
即（k﹣1）lnx+ ＞0
令g（x）=（k﹣1）lnx+ ，g′（x）= +1+ = ，
令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，
①当 ≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞ 恒成立．
②当 ＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1， ）上单调递减，
且m（1）＜0，故当x∈（1， ）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，
所以函数g（x）在（1， ）单调递减，
当x∈（1， ）时，g（x）＜0与题设矛盾，
综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，解方程可得a，b；（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞ ，即为（x﹣1）lnx+ ＞（x﹣k）lnx，即（k﹣1）lnx+ ＞0，令g（x）=（k﹣1）lnx+ ，求出导数，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，讨论①当 ≤1即k≥﹣1时，②当 ＞1即k＜﹣1时，求出单调性，即可得到k的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．