Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．

（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D= ，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，

∵D为AB的中点，

∴DO∥BC1，

∵BC1平面A1CD，DO平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD

（2）解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，

四边形BCC1B1是正方形，且A1D= ，

∴CD⊥AB，CD= = ，AD=1，

∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，

∵ ，∴ ，

∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，

∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，

∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，

∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，

∵底面△ABC是等边三角形，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．

以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

B（2，0，0），A（1，0， ），D（ ，0， ），A1（1，2， ），

=（ ，﹣2，﹣ ），平面CBB1C1的法向量 =（0，0，1），

设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，

则sinθ= = = ．

∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）连AC1 ， 设AC1与A1C相交于点O，先利用中位线定理证明DO∥BC1 ， 再利用线面平行的判定定理证明结论即可．（2）推导出三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对空间角异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．