Question

已知函数f（x）=x²-ax+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=0，求函数y=|f（x）|的单调递增区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设h（x）=

f(x)

x

，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，f（x）=x²-1，结合函数y=|f（x）|的图象可得它的增区间．
（2）函数f（x）=x²-ax+2a-1的对称轴为 x=

a

2

，分当

a

2

≤1时、当1＜

a

2

＜2时、和当

a

2

≥2时三种情况，分别求得g（a），综合可得结论．
（3）根据 h(x)=

f(x)

x

=x+

2a-1

x

-a，再分当2a-1≤0和当2a-1＞0时两种情况，根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，分别求得a的范围，再取并集．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x²-1，则结合y=|f（x）|的图象可得此函数在（-1，0），（1，+∞）上单调递增．
（2）函数f（x）=x²-ax+2a-1的对称轴为 x=

a

2

，当

a

2

≤1时，即a≤2，g（a）=f（1）=a；
当1＜

a

2

＜2时，即2＜a＜4，g(a)=f(

a

2

)=-

a2

4

+2a-1；
当

a

2

≥2时，即a≥4，g（a）=f（2）=3；
综上：g(a)=

a，a≤2 - a2 4 +2a-1，2＜a＜4 3，a≥2.

．
（3）∵h(x)=

f(x)

x

=x+

2a-1

x

-a，
当2a-1≤0，即a≤

1

2

，h（x）是单调递增的，符合题意．
当2a-1＞0，即a＞

1

2

时，h（x）在(0，

2a-1

]单调递减，在(

2a-1

，+∞)单调递增．
令

2a-1

≤1，求得

1

2

＜a≤1．
综上所述：a≤1．

点评：本题主要考查二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．