Question

8．设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1），若g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则实数a的取值范围为（3，5）．

Answer 1

分析 由题意可判断出函数f（x）是周期为2的偶函数，求出f′（x）判断出符号，得到函数的单调性再画出函数的图象，结合图象求a的取值范围．

解答 解：∵对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函数f（x）是周期为2的偶函数，
∵当x∈[-1，0]，f（x）=x²e^-（x+1），
∴f′（x）=2xe^-（x+1）-x²e^-（x+1）＜0，
则函数f（x）在[-1，0]上递减，在（0，1]上递增，
而g（x）=f（x）-log_ax在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点
可化为函数f（x）与y=log_ax在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，
故作函数f（x）与y=log_ax在（0，+∞）上的图象可得，

由图象可得，log_a3＜1，log_a5＞1，
解得3＜a＜5，
故答案为：（3，5）．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性的综合应用，导数与函数单调性的关系，以及函数零点问题转化出函数图象的交点问题，考查数形结合思想、转化思想，属于中档题．