Question

已知函数f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令b_n=

1

an-1an

 （n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若s_n＜

m-2005

2

对一切n∈N⁺成立，求最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知得到{a_n}是以1为首项，

2

3

为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1从第一项起两项两项的结合，然后利用等差数列的前n项和得答案；
（3）由裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和，代入s_n＜

m-2005

2

即可求解m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得：an+1=

2 an +3

3 an

=an+

2

3

．
∴a_n+1-a_n=3，
∴{a_n}是以1为首项，

2

3

为公差的等差数列．
∴an=1+(n-1)×

2

3

，
即an=

2

3

n+

1

3

；
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)
=-

4

3

•

n( 5 3 + 4n 3 + 1 3 )

2

=-

4

9

(2n2+3n)；
（3）b_n=

1

an-1an

=

9

(2n-1)(2n+1)

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（n≥2）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=b₁+（b₂+…+b_n）
=3+(

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

an-1an

)
=3+

9

2

(

1

2×2-1

-

1

2×2+1

+

1

2×3-1

-

1

2×3+1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=3+

9

2

(

1

3

-

1

2n+1

)＜3+

9

2

×

1

3

=

9

2

．
若Sn＜

m-2005

2

，只需

9

2

≤

m-2005

2

，
即m≥2014．
∴m的最小正整数是2014．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．