Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=

1

2

（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=na_n，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵S_n=

1

2

（1-a_n），∴n≥2时，S_n-1=

1

2

（1-a_n-1）．
两式相减可得a_n=

1

2

（a_n-1-a_n），∴

an

an-1

=

1

3

∵n=1时，a₁=S₁=

1

2

（1-a₁），∴a₁=

1

3

∴数列{a_n}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列
∴a_n=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n；
（2）证明：b_n=na_n=n•(

1

3

)n
令T_n=b₁+b₂+…+b_n，即T_n=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n
∴

1

3

T_n=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+（n-1）•(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1
两式相减可得

2

3

T_n=1•

1

3

+1•(

1

3

)2+1•(

1

3

)3+…+1•(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-n•(

1

3

)n+1=

1-( 1 3 )n

2

-n•(

1

3

)n+1
∴T_n=

3[1-( 1 3 )n]

4

-

3n

2

•(

1

3

)n+1，
∴T_n＜

3

4

．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的求和，考查不等式的证明，属于中档题．