Question

18．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，长、短轴长之比为2：1，若圆x²+y²-4y+3=0上的点P到此椭圆上点Q的最大值为1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a=2b＞0），即$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．圆x²+y²-4y+3=0化为x²+（y-2）²=1．圆心（0，2）到椭圆上的点Q（2bcosθ，bsinθ）的距离d=$\sqrt{-3{b}^{2}（sinθ+\frac{2}{3b}）^{2}+4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a=2b＞0），即$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
圆x²+y²-4y+3=0化为x²+（y-2）²=1．
圆心（0，2）到椭圆上的点Q（2bcosθ，bsinθ）的距离d=$\sqrt{4{b}^{2}co{s}^{2}θ+（bsinθ-2）^{2}}$=$\sqrt{-3{b}^{2}（sinθ+\frac{2}{3b}）^{2}+4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$，
当$\frac{2}{3b}$≥1时，sinθ=-1时取得最大值，∴b+2=1+1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，解得b=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$＞$\frac{2}{3}$，舍去．
当0＜$\frac{2}{3b}$＜1时，sinθ=-$\frac{2}{3b}$时取得最大值，∴$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$=1+1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，

解得b²=2+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
∴4b²=$8+\frac{8\sqrt{21}}{3}$．
∴此椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8+\frac{8\sqrt{21}}{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2+\frac{2\sqrt{21}}{3}}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．