Question

已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）设n=-4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．

Answer 1

解：（I）若m²+n²=0，即m=n=0，则f（x）=x•|x|，
∴f（-x）=-f（x）．即f（x）为奇函数．（2分）
若m²+n²≠0，则m、n中至少有一个不为0，
当m≠0．则f（-m）=n，f（m）=n+2m|m|，故f（-m）≠±f（m）．
当n≠0时，f（0）=n≠0，
∴f（x）不是奇函数，f（n）=n+|m+n|•n，f（-n）=n-|m-n|n，则f（n）≠f（-n），
∴f（x）不是偶函数．
故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
综上知：当m²+n²=0时，f（x）为奇函数；
当m²+n²≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（5分）
（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；（6分）
若x∈（0，1]时，原不等式可变形为．即．
∴只需对x∈（0，1]，满足（8分）
对①式，在（0，1]上单调递减，
∴m＜f₁（1）=3．（10分）
对②式，设，则．（因为0＜x＜1）
∴f₂（x）在（0，1]上单调递增，
∴m＞f₂（1）=-5．（12分）
综上所知：m的范围是（-5，3）．（13分）．
分析：（Ⅰ）先对m、n的取值分m=n=0和m、n中至少有一个不为0两种情况讨论，再分别利用定义f（-x）和f（x）的关系判断奇偶性即可；
（Ⅱ）当x∈（0，1]时，把不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性分别求出不等式两端的函数值的范围即可求出m的取值范围．
点评：本题主要考查函数奇偶性以及恒成立问题和利用单调性求函数值域，考查分类讨论思想，是对知识点的综合考查，属于中档题目．