Question

对于一切n∈N^*，等式

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=a+

b

(n+1)•2n

（a∈R，b∈R）恒成立．
（1）求a，b的值；
（2）用数学归纳法证明上面等式．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）将n=1，n=2代入等式，求a，b的值；
（2）用数学归纳法证明成立，证明时先证①当n=1时成立；②再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：（1）将n=1，n=2代入等式得：

a+ b 4 = 3 4 a+ b 12 = 3 4 + 1 6

解得：

a=1 b=-1

…（6分）
（2）由（1）得，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)•2n

下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=

3

4

，右边=

3

4

，等式成立；…（8分）
②假设n=k时等式成立，即

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

k+2

k(k+1)

×

1

2k

=1-

1

(k+1)•2k

则n=k+1时，
左边=

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

k+2

k(k+1)

×

1

2k

+

k+3

(k+1)(k+2)

×

1

2k+1

=1-

1

(k+1)•2k

+

k+3

(k+1)(k+2)

×

1

2k+1

=1-

1

(k+2)•2k+1

=右边
即n=k+1时等式成立．…（12分）
由①②知，等式

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)•2n

成立．…（14分）

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．