Question

过点M（1，

2

）作圆O：x²+y²=4的两条互相垂直的弦AB和CD，则四边形ACBD的面积的最大值和最小值分别是

 

和

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F，由已知得四边形OEMF为矩形，设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则d₁²+d₂²=OM²=3．四边形ABCD的面积为：S=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|）=2

(4-d12)(4-d22)

，由此能求出边形ABCD的面积最大值是5，最小值是4．

解答： 解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F，
∵AC⊥BD，
∴四边形OEMF为矩形，已知OA=OC=2，OM=

3

，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=3．
四边形ABCD的面积为：S=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：S=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4-d12)(4-d22)

≤8-(d12+d22)=5，
当且仅当d12=d22时取等号，
又S=2

(4-d12)(4-d22)

=2

16-4(d12+d22)+d12d22

=2

4+d12d22

≥4，
∴四边形ABCD的面积最大值是5，最小值是4．
故答案为：5，4．

点评：本题考查四边形面积的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质和均值定理的合理运用．