Question

求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）a=6，b=3；
（2）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5）；
（3）已知圆x²+y²-4x-9=0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线两焦点间线段三等分．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）分类讨论，直接写出方程；
（2）求出a=2

5

，b=4，可得双曲线的标准方程；
（3）由已知条件推导出A（0，-3），B（0，3），从而得到a=3，2c=18，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）焦点在x轴上的双曲线方程为

x2

36

-

y2

9

=1或

y2

36

-

x2

9

=1；
（2）c=6，

25

a2

-

4

b2

=1，∴a=2

5

，b=4，∴双曲线的标准方程为

y2

20

-

x2

16

=1；
（3）解方程组

x2+y2-4x-9=0 x=0

，得

x=0 y=3

或

x=0 y=-3

，
∵圆x²+y²-4x-9=0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，
且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴A（0，-3），B（0，3），
∴a=3，2c=18，∴b²=9²-3²=72，
∴双曲线方程为

y2

9

-

x2

72

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．