Question

设函数f（x）=

2x3+3x2+1，x≤0 eax，x＞0

在[-2，2]上的最大值为2，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  ln2

  2

  ]
• B、[

  ln2

  2

  ，+∞）
• C、（-∞，0）
• D、[0，

  ln2

  2

  ]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：运用导数，判断函数在x≤0时f（x）的单调性，求得当x∈[-2，0]上的最大值为2； 欲使得函数f（x）在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e^2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．

解答： 解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x³+3x²+1，可得f′（x）=6x²+6x，
解得函数f（x）在[-1，0]上导数为负，在（-∞，-1]上导数为正，
故函数f（x）在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；
要使函数f（x）=

2x3+3x2+1，x≤0 eax，x＞0

在[-2，2]上的最大值为2，
则当x=2时，e^2a的值必须小于等于2，
即e^2a≤2，
解得a∈（-∞，

1

2

ln2）．
故选A．

点评：本题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．