Question

已知直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数）
（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

3

）判断点P与直线l的位置关系
（Ⅱ）设点Q是曲线C上一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）首先把直线的参数方程转化成直角坐标方程，把点的极坐标转化成直角坐标，进一步判断出点和直线的位置关系．
（Ⅱ）把圆的参数方程转化成直角坐标方程，利用圆心到直线的距离，进一步求出圆上的动点到直线距离的最值．

解答： 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t为参数），转化成直角坐标方程为：y=

3

x+1，
点P的极坐标为（4，

π

3

），则点P的直角坐标为：(2，2

3

)
由于点p不满足直线l的方程，
所以：点p不在直线上．
（Ⅱ）曲线C的参数方程为

x=2+cosθ y=sinθ

（θ为参数），转化成直角坐标方程为：（x-2）²+y²=1
圆心坐标为：（2，0），半径为1．
所以：（2，0）到直线l的距离d=

|2 3 -1|

2

=

3

-

1

2

．
所以：动点Q到直线l的最大距离：dmax=

3

-

1

2

+1=

3

+

1

2

．
动点Q到直线l的最小距离：dmin=

3

-

1

2

-1=

3

-

3

2

．

点评：本题考查的知识要点：直线的参数方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程和直角坐标方程的互化，极坐标和直角坐标的互化，点与直线的位置关系，点到直线的距离的应用．属于基础题型．