Question

在△ABC中，已知sinA=

1

5

，sinB=

1

10

，则其最长边与最短边的比为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：由题意和正弦定理得A＞B，讨论A为钝角和锐角时，由诱导公式和两角和的正弦公式求得sinB，再由角的正弦大小关系判断出角的大小关系，从而确定最大边和最小边，再利用正弦定理求出比值．

解答： 解：由

1

5

＞

1

10

得，sinA＞sinB，
由正弦定理可得a＞b，则A＞B，
所以B为锐角，A可能为锐角或钝角，
①若A为钝角，则cosA=-

1-sin2A

=-

2 6

5

，
cosB=

1-sin2B

=

3 10

10

，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

5

×

3 10

10

+(-

2 6

5

)×

1

10

=

3 10 -2 6

50

＜

1

10

，
由sinB＞sinC，即有b＞c，即c最小，a最大，
所以a：c=sinA：sinC=

1

5

：

3 10 -2 6

50

=5(3

10

+2

6

)：33；
②若A为锐角，则cosA=

2 6

5

，cosB=

3 10

10

，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

5

×

3 10

10

+

2 6

5

×

1

10

=

3 10 +2 6

50

＞

1

5

，
由sinC＞sinA＞sinB，则有c最大，b最小．
则c：b=sinC：sinB=

3 10 +2 6

50

：

1

10

=(3

10

+2

6

)：5，
故答案为：5(3

10

+2

6

)：33或(3

10

+2

6

)：5．

点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦公式和诱导公式，边角关系，考查化简计算能力，属于中档题和易错题．