Question

8．求下列函数的周期、最值及相应的自变量x的集合和单调区间．
（1）y=cosx+1；
（2）y=cos4x；
（3）y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）；
（4）y=3cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由条件利用余弦函数的周期性、最值、以及单调性，求得各个题中函数的周期、最值及相应的自变量x的集合和单调区间．

解答 解：（1）对于函数y=cosx+1，它的最小正周期为2π；最大值为2，此时x满足{x|x=2kπ，k∈Z}；
最小值为0，此时，x满足{x|x=2kπ+π，k∈Z}；增区间为[2kπ-π，2kπ]，减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z．
（2）对于函数y=cos4x，它的最小正周期为$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$；最大值为1，此时x满足{x|4x=2kπ，k∈Z}={x|x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，}；
最小值为-1，此时，x满足{x|4x=2kπ+π，k∈Z}={x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}；
令2kπ-π≤4x≤2kπ，k∈Z，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$，可得函数的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{4}$，$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；
令2kπ≤4x≤2kπ+π，k∈Z，求得$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，可得函数的减区间为[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（3）对于函数y=cos（2x+$\frac{π}{3}$），它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π；最大值为1，此时x满足{x|2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z}={x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，}；
最小值为-1，此时，x满足{x|2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，k∈Z}={x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，}；
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，求得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（4）对于函数y=3cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），它的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；最大值为3，此时x满足{x|$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=2kπ，k∈Z}={x|x=4kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}；
最小值为-3，此时，x满足{x|$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=2kπ+π，k∈Z}={x|x=4kπ+$\frac{7π}{3}$，k∈Z}；
令2kπ-π≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ，k∈Z，求得4kπ-2π≤x≤4kπ，可得函数的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
令2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，k∈Z，求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$，可得函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查余弦函数的周期性、最值、以及单调性，属于基础题．