Question

【题目】已知函数.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，分离参数，构造新函数，分析新的函数的单调性，求最值，即可得的取值范围；

（2）问题转化为不等式对恒成立，构造函数，根据函数的单调性的讨论，分析求得最终结果.

（1）由题意得，

对任意恒成立.

记，

则，，

故在上单调递增，有，

所以在上单调递增，的最小值为，

则；

（2）依题意，对任意，有恒成立.

记，，则.

由，得，

，故.

分类讨论如下：

若，则，

此处用到了经典函数不等式和.

故在上单调递增，有.符合题意.

若，，，

又，

由零点存在性定理知存在，

使得当时，有，则在内单调递减，

有，则在单调递减，

有，舍去.

综上，实数的取值范围是.