Question

已知函数f(x)=ln

1

x

-x2+ax，a∈R．
（I）若函数f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（II）若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5-ln

1

2

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）在定义域上是单调减函数，得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，进而可转化为函数最值问题解决；
（Ⅱ）由函数f（x）存在极值，得函数f（x）在（0，+∞）上有零点，可转化为方程f（x）=0在（0，+∞）上有根，
数形结合可得a满足的条件，设出其根，把所有极值和用a表示出来，令其大于5-ln

1

2

，可解得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=-

1

x

-2x+a=-

2x2-ax+1

x

，
因为函数f（x）在定义域上是单调减函数，
所以f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）=-

2x2-ax+1

x

≤0，
所以2x²-ax+1≥0恒成立，
所以2x²+1≥ax，a≤

2x2+1

x

=2x+

1

x

，
又因为2x+

1

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时等号成立，
所以a≤2

2

．
（Ⅱ）因为函数f（x）存在极值，所以函数f（x）在（0，+∞）上有零点，
也就是函数g（x）=2x²-ax+1在（0，+∞）上有零点，
因为g（0）=1，所以

a 4 ＞0 △=a2-8＞0

，解得a＞2

2

．
此时g（x）=0有两个正根，不妨设其两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=

a

2

，x₁x₂=

1

2

，
所以f（x₁）+f（x₂）=ln

1

x1

-x12+ax1+ln

1

x2

-x22+ax2
=ln

1

x1x2

-(x1+x2)2+2x₁x₂+a（x₁+x₂）
=ln2-

a2

4

+1+a•

a

2

=

a2

4

+ln2+1．
又因为ln2-

a2

4

+1+a•

a

2

=

a2

4

+ln2+1＞5-ln

1

2

，
所以a²＞16，解得a＞4．
所以a的取值范围为（4，+∞）．

点评：本题考查函数单调性与导数间的关系及函数取得极值的条件，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力．