Question

已知函数f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0且a≠1).

(1)求f(x)的定义域；

(2)当x为何值时，函数值大于1；

(3)讨论f(x)的单调性；

(4)解方程f(2x)=f^-1(x).

Answer 1

解：(1)a^x-1＞0a^x＞a⁰，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.

(2)log_a(a^x-1)＞1=log_aa,

∴log_a(a^x-1)＞log_aa.

当a＞1时，a^x＞a+1x＞log_a(a+1)；

当0＜a＜1时，

1＜a^x＜a+1log_a(a+1)＜x＜0.

(3)当a＞1，x∈(0,+∞)时，f(x₂)-f(x₁)=log_a;当0＜a＜1，x∈(-∞,0)时，f(x₂)-f(x₁)=log_a＞0.

∴f(x)在定义域上是增函数.

(4)∵f(2x)=f^-1(x),

∴log_a(a^2x-1)=log_a(a^x+1).

∴a^2x-1=a^x+1＞0.

∴a^x=2或a^x=-1(舍去).

∴x=log_a2.