Question

9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，$f（x）=\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$，若?x∈R，f（x-a）≤f（x），则a的取值范围是（　　）

• A． a≥3
• B． -3≤a≤3
• C． a≥6
• D． -6≤a≤6

Answer 1

分析 根据题意，由函数在x≥0时的解析式，将其用分段函数表示为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$，又由函数为奇函数，利用奇函数关于原点对称的性质可得f（x）的图象，进而分析可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，当x≥0时，$f（x）=\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$，
又由函数为奇函数，则其图象如图：
若?x∈R，f（x-a）≤f（x），
即点（x-a，f（x-a））在点（x，f（x））的下方或同一条水平线上，
必有a≥6，
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象．