Question

在平面直角坐标系中，已知点，点P是动点，且三角形的三边所在直线

的斜率满足．

（1）求点P的轨迹的方程；

（2）设Q是轨迹上异于点的一个点，若，直线与交于点M，探究是否存点P使得和的面积满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，由得，，

整理得的方程为（且）。……4分（注：不写范围扣1分）

（2）解法一、设，

，，，即， ………6分

三点共线，与共线，∴，

由（1）知，故，         ………8分

同理，由与共线，

∴，即，

由（1）知，故，…………9分

将，代入上式得，

整理得，由得，         …………11分

由，得到，因为，所以，

由，得，  ∴的坐标为．           …………14分

解法二、设由得，

故，即，                          ………6分

∴直线OP方程为：   ①；                            …………8分

直线QA的斜率为：，            

∴直线QA方程为：，即， ②  …10分

联立①②，得，∴点M的横坐标为定值。…………11分

由，得到，因为，所以，

由，得，  ∴的坐标为．           …………14分

【解析】考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．

（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA得从而就可以得到轨迹C的方程；

（2）设出点PQ,M的坐标，然后利用三点共线得到坐标关系，进而再由面积得到点P的坐标。