Question

已知集合A={x|x²-2x-a²-2a＜0}，B={y|y=3^x-2a，x≤2}．
（Ⅰ）若a=3，求A∪B；
（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算,并集及其运算

专题：集合

分析：（Ⅰ）将a=3代入A与B中确定出A与B，求出A∪B即可；
（Ⅱ）由A∩B=A，得到A为B的子集，分a=-1，a＜-1和a＞-1三种情况，分别确定出a的范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）将a=3代入A中不等式得：x²-2x-15＜0，即（x-5）（x+3）＜0，
解得：-3＜x＜5，即A=（-3，5）；
将a=3代入B中等式得：y=3^x-6，
∵x≤2，
∴0＜3^x≤9，即-6＜y=3^x-6≤3，
∴B=（-6，3]，
则A∪B=（-6，5）；
（Ⅱ）∵A∩B=A，
∴A⊆B，
由B中y的范围为-2a＜y≤9-2a，即B=（-2a，9-2a），
由A中不等式变形得：x²-2x+1-a²-2a-1＜0，
即（x-1）²-（a+1）²＜0，
整理得：（x+a）（x-a-2）＜0，
∵A∩B=A，∴A⊆B，
当a=-1时，A=∅，满足题意；
当a+2＞-a，即a＞-1时，A=（-a，a+2），
∵A⊆B，
∴

-2a≤-a 9-2a≥a+2

，
解得：0≤a≤

7

3

；
当a+2＜-a，即a＜-1时，A=（a+2，-a），
∵A⊆B，∴

-2a≤a+2 -a≤9-2a

，
解得：-

2

3

≤a≤9（舍去），
综上，a=-1或0≤a≤

7

3

．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．