Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设数列{b_n}满足b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n+b_n}的前n项和为S_n；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，若c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件求出an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，所以a_n+b_n=(

1

4

)n+(3n-2)，由此能求出数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．
（2）c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(

1

4

)n，n∈N^*．由c_n+1-c_n=9（1-n）•(

1

4

)n=1，得当n=1时，c_n取最大值是

1

4

．由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，
∴an=(

1

4

)n，n∈N^*，
∵bn=3log

1

4

an-2，∴b_n=3n-2，
∴a_n+b_n=(

1

4

)n+(3n-2)，
∴S_n=

1-( 1 4 )n

3

+

n(n+1)

2

．
（2）∵an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，
∴c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(

1

4

)n，n∈N^*．
∵c_n+1-c_n=（3n+1）•（

1

4

）ⁿ⁺¹-（3n-2）•(

1

4

)n
=9（1-n）•(

1

4

)n-1，n∈N^*．
∴当n=1时，c_n取最大值是

1

4

．
又cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，
∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

，
整理，得m²+4m-5≥0，
解得m≥1，或m≤-5．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．