Question

给定数列{a_n}：

1

，

1+ 2

，

1+ 2+ 3

，…，

1+ 2+ 3+ …+ n

…
（1）判断a₂是否为有理数，证明你的结论；
（2）是否存在常数M＞0．使a_n＜M对n∈N^*都成立？若存在，找出M的一个值，并加以证明； 若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,反证法,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用反证法进行证明即可；
（2）利用放缩法，可得结论．

解答： 解：（1）a₂是无理数，若不然，设

1+ 2

=r∈Q．
则1+

2

=r2即

2

=r2-1必为有理数，这与

2

是无理数矛盾．
（2）设bk=

k+ k+1+ k+2+ …+ n

(k=1，2，…，)
则b1=an，

b

2 k

=k+bk+1 (k=1，2，…，n-1)， 

b

2 n

=n．
于是b1≤

1+ b 2 1

2

=

1

2

+

1+b2

2

=

2

2

+

b2

2

≤

2

2

+

1

2

•

1+ b 2 2

2

=

2

2

+

3

4

+

b3

4

≤

2

2

+

3

4

+

1

4

•

1+ b 2 3

2

=

2

2

+

3

4

+

4

8

+

b4

8

≤

2

2

+

3

4

+

4

8

+

5

16

+

b5

16

≤…≤

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

bn

2n-1

≤

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

1

2n-1

•

1+ b 2 n

2

=

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

令Sn=

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n

2n-1

+

n+1

2n

．
则Sn=3-

n+3

2n

＜3．
从而可取M=3（或M=4等）．则对?n∈N^*，均有a_n＜3成立．

点评：本题考查反证法与放缩法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．