Question

如图，△ABC的两边AB=2，AC=1，点D在BC边上，且满足

| AB |

| AC |

=

| BD |

| DC |

，点M为AD的中点，过点M的直线l分别交AB、AC于点P、Q，已知：

AP

=λ

AB

，

AQ

=μ

AC

（其中0＜λ≤1，0＜μ≤1），△ABC和△APQ的面积分别为S₁、S₂．
（Ⅰ）求△ABC的面积的最大值；
（Ⅱ）求证：

1

λ

+

2

μ

的值为一个定值；
（Ⅲ）求

S2

S1

的取值范围．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,三角形的面积公式

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由利用三角形的面积公式结合正弦函数的性质可知，当∠BAC=90°时，三角形ABC面积最大；
（2）由

| AB |

| AC |

=

| BD |

| DC |

可得线段AD是∠BOC的角平分线，则BD=

2

3

BC，则向量

AD

可用向量

AC

，

AB

表示，则

AM

也可用基底表示，再根据P，M，Q三点共线列出关于λ，μ的方程，问题获解；
（3）利用三角形的面积公式容易将面积之比转化为边长之比，结合第（2）问的结果将比值转化为关于λ或μ的函数求值域．

解答： 解：（1）由已知得S△ABC=

1

2

AB×AC×sin∠BAC=sin∠BAC，
又∵∠BAC∈（0，π），∴当∠BAC=

π

2

时，（S_△ABC）_max=1．
（2）∵△ABC的两边AB=2，AC=1，点D在BC边上，且满足

| AB |

| AC |

=

| BD |

| DC |

=

2

1

，
∴

BD

=

2

3

BC

=

2

3

(

AC

-

AB

)，∴

AD

=

AB

+

BD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，
又∵M是AD的中点，∴

AM

=

1

6

AB

+

1

3

AC

 ①
∵P，M，Q三点共线，∴

PM

=t

PQ

，即

AM

-

AP

=t(

AQ

-

AP

) ②
又∵

AP

=λ

AB

 ③，

AQ

=μ

AC

 ④，将①③④代入②式化简得
(

1

6

-λ)

AB

+

1

3

AC

=μt

AC

-λt

AB

，又

AB

，

AC

不共线，
∴

1 6 -λ=-λt 1 3 =μt

两式相除消去t整理后得

1

λ

+

2

μ

=6（定值）．
（3）由题意S2=

1

2

|

AP

||

AQ

|sin∠PAQ，S1=

1

2

|

AB

||

AC

|sin∠BAC，
∴

S2

S1

=

| AP || AQ |

| AB || AC |

=λμ，又

1

λ

+

2

μ

=6，∴λ=

μ

6μ-2

≤1得

2

5

≤μ≤1，
∴

S2

S1

=

μ2

6μ-2

，（

2

5

≤μ≤1）
令ω=

μ2

6μ-2

，∵ω′=

6μ(μ- 2 3 )

(6μ-2)2

，
当

2

5

≤μ≤

2

3

时，ω′＜0，ω（μ）递减，
当

2

3

＜μ≤1时，ω′＞0，ω（μ）递增，
∴ω_min=ω(

2

3

)=

2

9

，又ω(1)=

1

4

，ω(

2

5

)=

2

5

∴ωmax=

2

5

，
∴

S2

S1

取值范围是[

2

9

，

2

5

]．

点评：本题综合性较强，以考查向量在几何中的应用为载体，考查了函数的值域的求法等等，有一定难度．