已知x∈R.求证:x6-x5+x2-x+1＞0．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知x∈R，求证：x⁶-x⁵+x²-x+1＞0．

考点：函数恒成立问题

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：分类讨论，即可证明结论．

解答： 证明：①x≥1时，x⁶＞x⁵，x²≥x，1＞0．相加得，x⁶+x²+1＞x⁵+x，∴x⁶-x⁵+x²-x+1＞0；
②0＜x＜1时，x²＞x⁵，1＞x，x⁶＞0，∴x⁶-x⁵+x²-x+1＞0；
③x＜0时，-x⁵＞0，-x＞0，x⁶+x²+1＞0，∴x⁶-x⁵+x²-x+1＞0；
④x=0时，左式=1＞0．
综上知，对任意实数x⁶-x⁵+x²-x+1＞0恒成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，比较基础．

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有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多少，例如，对于集合A={1，2，3，…，n，…}与B={2，4，6，…，2n，…}，我们可以设计一种方法得出A与B的元素个数一样多的结论，类似地，给出下列4组集合：
（1）A={1，2，3，…，n，…}与B={2，4，8，…，2ⁿ，…}
（2）A=[0，1]与B=[0，2]
（3）A=（0，2]与B=[-1，+∞）
（4）A={（x，y）|x²+y²=1}与B={（x，y）|

+y2=1}
元素个数一样多的有（　　）

A、1组

B、2组

C、3组

D、4组

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一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a_n}，若a₈=15，且a₁，a₂，a₅成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）

A、11，10

B、10，10

C、11，12

D、10，12