Question

直线l过点P（

4

3

，2）且与x，y轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点
（1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
（2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程；
（3）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
（4）当|AP||BP|最大时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）设直线l方程为y=kx+b，k＜0．△AOB的周长为12时，

2= 4 3 k+b - b k +b+ (- b k )2+b2 =12

，由此能求出直线l的方程．
（2）设直线l方程为y=kx+b，k＜0．当△AOB的面积为6时，

1 2 (- b k )•b=6 2= 4 3 k+b

，由此能求出直线l的方程．
（3）设直线l的方程为y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，S_△AOB=

1

2

(2-

4

3

k)(

4

3

-

2

k

)，由此利用均值定理能求出直线l的方程．
（4）设直线l的方程为y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，

AP

•

BP

=

8

3k

+

8k

3

，由此利用均值定理能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵直线l过点P（

4

3

，2）且与x，y轴的正方向分别交于A，B两点，
∴设直线l方程为y=kx+b，k＜0．
则直线l交x轴的交点为（-

b

k

，0），y轴交点为（0，b）．
△AOB的周长为12时，

2= 4 3 k+b - b k +b+ (- b k )2+b2 =12

，解得b=3，k=-

3

4

，
∴直线l的方程为y=-

3

4

x+3．
（2）∵直线l过点P（

4

3

，2）且与x，y轴的正方向分别交于A，B两点，
∴设直线l方程为y=kx+b，k＜0．
则直线l交x轴的交点为（-

b

k

，0），y轴交点为（0，b）．
当△AOB的面积为6时，

1 2 (- b k )•b=6 2= 4 3 k+b

，解得

k=- 3 4 b=3

，或

k=-3 b=6

，
∴直线l的方程为y=-

3

4

x+3或y=-3x+6．
（3）设直线l的方程为y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，
x=0时，y=2-

4

3

k，y=0时，x=

4

3

-

2

k

，
∴S_△AOB=

1

2

(2-

4

3

k)(

4

3

-

2

k

)
=

8

3

-

8

9

k-

2

k

≥

8

3

+2

(- 8k 9 )(- 2 k )

=

16

3

．
当且仅当-

8k

9

=-

2

k

且k＜0，即k=-

3

2

时，取等号，
∴直线l的方程为y=-

3

2

（x-

4

3

）+2，即y=-

3

2

x+4．
（4）设直线l的方程为y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，
x=0时，y=2-

4

3

k，y=0时，x=

4

3

-

2

k

，∴A（

4

3

-

2

k

，0），B（0，2-

4

3

k），
∴

AP

=（

2

k

，2），

BP

=（

4

3

，

4

3

k），
∴

AP

•

BP

=

8

3k

+

8k

3

=-（-

8

3k

-

8k

3

）≤2

(- 8 3k )(- 8k 3 )

=

16

3

．
当且仅当-

8

3k

=-

8k

3

，且k＜0，即k=-1时，取等号，
∴l的方程为y=x+

2

3

．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．