Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=

anbn

4

，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，由此能求出{a_n}的通项公式；由{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

anbn

4

=

(4n-2)4n-1

4

=(2n-1)4n-1，利用错位相减法能求出数列{c_n}前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，
∴当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，
n=1时，4n-2=2=a₁，…（4分）
∴{a_n}的通项公式为a_n=4n-2．
∵{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，
∴b₁=2，b₁×4=b₂，∴b_n=2•4^n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵cn=

anbn

4

=

(4n-2)4n-1

4

=(2n-1)4n-1，
∴Tn=1+3×4+5×42+…+(2n-1)×4n-1，
4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-1)×4n，…（8分）
两式相减得：
3Tn=-1-2(4+42+…+4n-1)+(2n-1)•4n
=

1

3

[(6n-5)•4n+5]，…（10分）
∴Tn=

1

9

[(6n-5)4n+5]．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．