Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）数列{b_n}满足b₁=

1

2

，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{b_n-a_n}为等比数列，并求出数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），从而数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公差为d=a₂-a₁=

1

2

的等差数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由3b_n-b_n-1=n，得b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n，从而可以证明数列{b_n-a_n}为等比数列，即可求出数列{b_n}的通项公式．

解答： （1）解：由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），
可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公差为d=a₂-a₁=

1

2

的等差数列．
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1

2

n-

1

4

（n∈N^*），
即a_n=

1

2

n-

1

4

（n∈N^*）．                                     …（6分）
（2）证明：由3b_n-b_n-1=n，得b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n（n≥2，n∈N^*），
∴b_n-a_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

b_n-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

（b_n-1-

1

2

n+

3

4

）
=

1

3

[b_n-1-

1

2

（n-1）+

1

4

]=

1

3

（b_n-1-a_n-1）．
又b₁-a₁=

1

4

≠0，∴b_n-a_n≠0（n∈N^*），得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

（n≥2，n∈N^*），
即数列{b_n-a_n}是首项为b₁-a₁=

1

4

，公比为

1

3

的等比数列．
∴bn=

1

4

•(

1

3

)n-1+

n

2

-

1

4

…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．