Question

已知函数y=-x³+3x-a在[0，2]上有两个零点，则常数a的取值范围为（　　）

• A、0≤a＜2
• B、-2≤a≤2
• C、-2＜a＜2
• D、0≤a≤2

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：通过对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：令f（x）=-x³+3x-a，x∈[0，2]．
则f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=1．
列表如下：

x	[0，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（1）=2-a；又f（0）=-a，f（2）=-2-a．∴最小值为-2-a．
①当a＜0时，f（1）＞0，f（0）＞0，f（2）≥-2，因此函数f（x）最多有一个零点；
②当a≥2时，f（1）＜0，因此函数f（x）无零点；
③当0≤a＜2时，f（1）＞0，f（0）≤0，f（2）＜0，因此函数f（x）有两个零点，满足条件．
综上可得：只有当0≤a＜2时，函数f（x）有两个零点．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．