Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）若a＞0，求

b

a

的取值范围；
（2）判断方程f（x）=0在（0，1）内实根的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件结合二次函数的图象以及不等式的性质即可求

b

a

的取值范围；
（2）利用根的判断条件，即可判断方程f（x）=0在（0，1）内实根的个数．

解答： 证明：（1）∵f（0）＞0，f（1）＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=3a+2b+c＞0，
由a+b+c=0，得b=-a-c，
代入f（1）得：a-c＞0，
即a＞c＞0，且0＜

c

a

＜1，
即

b

a

=-1-

c

a

∈（-2，-1）．
（2）∵f（

1

2

）=-

1

4

a＜0，
又f（0）＞0，f（1）＞0．
则f（x）在区间（0，

1

2

），（

1

2

，0）内各有一个，
故在（0，1）内有2个实根．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及根的个数的判断，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．