Question

已知函数f（x）=

2ax-a2+1

x2+1

（x∈R），其中a＞0．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间及在（-1，+∞）上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导函数，利用导数的正负，确定函数y=f（x）的单调性，从而可求在（-1，+∞）上的最大值．

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=

2x

x2+1

，f（1）=1，…（1分）
又f′(x)=

2(x2+1)-4x2

(x2+1)2

=

2-2x2

(x2+1)2

，则f'（1）=0．    …（3分）
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=0． …（4分）
（2）f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)

(x2+1)2

=

-2(x-a)(ax+1)

(x2+1)2

．
由于a＞0，令f'（x）=0，得到x1=-

1

a

，x₂=a，…（6分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	cos2x-cosx≤k2-k（x∈R）	- 1 a	(- 1 a ，a)	a	（a，+∞）
f（a）=1	-	0	+	0	-
f（x）		极小值	&	极大值

…（9分）
∴f（x）在区间(-∞，-

1

a

)，（a，+∞）内为减函数，在区间(-

1

a

，a)内为增函数．
故函数f（x）在点x₂=a处取得极大值{a_n}，且f（a）=1．
∵f（-1）=

-2a-a2+1

2

，且f（-1）-f（a）=

-2a-a2+1

2

-1=

-2a-a2-1

2

＜0，
∴f（x）在-1，+∞）上的最大值为1．        …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确求导是关键．