Question

已知函数f（x）=x-1-ln（x+m）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅰ）求m的值．
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=1-

1

x+m

，函数f（x）在x=1处取得极小值，由此利用导数性质能求出m．
（Ⅱ）f（x）=x-1-lnx．由题意知a＞0，a（x-1）²-x+1+ln x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立．构造函数g（x）=a（x-1）²-x+1+ln x，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-1-ln（x+m），
∴f′(x)=1-

1

x+m

．…（1分）
由于函数f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数
∴函数f（x）在x=1处取得极小值，…（3分）
∴f′（1）=0，即1-

1

1+m

=0，解得m=0．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x-1-lnx．
若a≤0，取x=2，则f（x）=1-ln 2＞0不满足f（x）≤a（x-1）²，∴必有a＞0，…（6分）
不等式f（x）≤a（x-1）²，
即为x-1-ln x≤a（x-1）²，
∴a（x-1）²-x+1+ln x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=a（x-1）²-x+1+ln x，…（7分）
则g′（x）=2a（x-1）-1+

1

x

=

2ax2-2ax-x+1

x

=

2a(x- 1 2a )(x-1)

x

．
①当

1

2a

≤1即a≥

1

2

时，当x＞1时，有g′（x）＞0恒成立，
即g（x）在[1，+∞）上单调递增，…（9分）
g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）=0，
故g（x）≥g（1）=0在x∈[1，+∞）上恒成立，…（10分）
②当

1

2a

＞1即0＜a＜

1

2

时，
由g′(x)=

2a(x- 1 2a )(x-1)

x

＜0可得1＜x＜

1

2a

，
即函数g（x）在(1，

1

2a

)上单调递减，…（12分）
又g（1）=0，
∴当x∈（1，

1

2a

）时，g（x）＜0，
因此g（x）≥0在x∈[1，+∞）上不能恒成立．…（13分）
综上，实数a的取值范围是[

1

2

，+∞)．…（14分）

点评：本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意导数性质、构造法、分类讨论思想的合理运用．