Question

已知函数f（x）=e^x-x-1．
（Ⅰ）若函数g（x）=-e^x+x+a+1，x∈[-1，ln

4

3

]有唯一零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥（t-1）x恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）令g（x）=0，得a=e^x-1-x，函数g（x）的零点个数就是函数f（x）图象与直线y=a的交点个数，由此利用导数性质能求出使函数g（x）=-e^x+x+a+1，x∈[-1，ln

4

3

]有唯一零点的a的取值范围．
（Ⅱ）由已知得，当x≥0时，e^x-1-tx≥0恒成立，令h（x）=e^x-1-tx，则h′（x）=e^x-t，由此利用导数性质能求出t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x-1，g（x）=-e^x+x+a+1，
∴令g（x）=0，得a=e^x-1-x，
函数g（x）的零点个数就是函数f（x）图象与直线y=a的交点个数，
∵f′（x）=e^x-1，∴令f′（x）=0，得x=0，
∵当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
∴x∈（-1，0）时，f（x）为减函数，x∈（0，ln

4

3

）时，f（x）为增函数，
又∵f（0）=0，f（-1）=e-1-1+1=

1

e

，
f（ln

4

3

）=

4

3

-1-ln

4

3

=

1

3

-ln

4

3

，且f（-1）-f（ln

4

3

）=

1

e

-

1

3

+ln

4

3

＞0，
∴f（-1）＞f（ln

4

3

），
∴要使函数g（x）=-e^x+x+a+1，x∈[-1，ln

4

3

]有唯一零点，
只要a=0或a∈（

1

3

-ln

4

3

，

1

e

]．
∴a的取值范围是（

1

3

-ln

4

3

，

1

e

]∪{0}．
（Ⅱ）由已知得，当x≥0时，e^x-1-tx≥0恒成立，
令h（x）=e^x-1-tx，则h′（x）=e^x-t，
若t≤1，则h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，
又h（0）=0，∴函数h（x）在（0，lnt）上是减函数，在（lnt，+∞）上是增函数，
又h（lnt）=t-1-tlnt＜h（0）=0，
∴不满足f（x）≥（t-1）x恒成立，故t＞1不符合题意．
综上所述，t的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法、等价转化思想的合理运用．